举例#

设 [ D_n= \left| \begin{array}{ccccc} a_1+1 & 1 & 1 & \cdots & 1\ 1 & a_2+1 & 1 & \cdots & 1\ 1 & 1 & a_3+1 & \cdots & 1\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ 1 & 1 & 1 & \cdots & a_n+1 \end{array} \right| ]

求 $D_n$。

在什么时候使用#

适用于证明含参数 $n$ 的同型行列式通式。

解题过程#

[ D_1=a_1+1=a_1\left(1+\frac{1}{a_1}\right) ]

设

[ D_k=\left(\prod_{i=1}^k a_i\right)\left(1+\sum_{i=1}^k\frac{1}{a_i}\right) ]

则

[ D_{k+1}= \begin{vmatrix} a_1+1 & 1 & \cdots & 1 & 1
1 & a_2+1 & \cdots & 1 & 1
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots
1 & 1 & \cdots & a_k+1 & 1
1 & 1 & \cdots & 1 & a_{k+1}+1 \end{vmatrix} ]

[ \overset{C_{k+1}\leftarrow C_{k+1}-C_1}{=} \begin{vmatrix} a_1+1 & 1 & \cdots & 1 & -a_1
1 & a_2+1 & \cdots & 1 & 0
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots
1 & 1 & \cdots & a_k+1 & 0
1 & 1 & \cdots & 1 & a_{k+1} \end{vmatrix} ]

[

a_{k+1} \begin{vmatrix} a_1+1 & 1 & \cdots & 1
1 & a_2+1 & \cdots & 1
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
1 & 1 & \cdots & a_k+1 \end{vmatrix} -a_1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1
1 & a_2+1 & \cdots & 1
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
1 & 1 & \cdots & a_k+1 \end{vmatrix} ]

[

a_{k+1}D_k+a_2a_3\cdots a_k ]

[

a_{k+1}\left(\prod_{i=1}^k a_i\right)\left(1+\sum_{i=1}^k\frac{1}{a_i}\right)+a_2a_3\cdots a_k ]

[

\left(\prod_{i=1}^{k+1} a_i\right)\left(1+\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{a_i}\right) ]

故

[ D_n=\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)\left(1+\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right) ]

举例#

设

[ D_n= \begin{vmatrix} a+x_1 & a & a & \cdots & a
a & a+x_2 & a & \cdots & a
a & a & a+x_3 & \cdots & a
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a & a & a & \cdots & a+x_n \end{vmatrix} ]

求 $D_n$。

在什么时候使用#

适用于主对角线与非主对角线只差一个局部增量的行列式。

解题过程#

[ D_n= \begin{vmatrix} a+x_1 & a & a & \cdots & a
a & a+x_2 & a & \cdots & a
a & a & a+x_3 & \cdots & a
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a & a & a & \cdots & a+x_n \end{vmatrix} ]

[ \overset{R_i\leftarrow R_i-R_1\ (i=2,\cdots,n)}{=} \begin{vmatrix} a+x_1 & a & a & \cdots & a
-x_1 & x_2 & 0 & \cdots & 0
-x_1 & 0 & x_3 & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
-x_1 & 0 & 0 & \cdots & x_n \end{vmatrix} ]

[ \overset{C_1\leftarrow C_1+C_2+\cdots+C_n}{=} \begin{vmatrix} a+x_1+(n-1)a & a & a & \cdots & a
-x_1+x_2 & x_2 & 0 & \cdots & 0
-x_1+x_3 & 0 & x_3 & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
-x_1+x_n & 0 & 0 & \cdots & x_n \end{vmatrix} ]

也可直接利用递推：

[ D_n=x_1D_{n-1}+ax_2x_3\cdots x_n ]

[ D_{n-1}=x_2D_{n-2}+ax_3x_4\cdots x_n ]

[ \cdots ]

[ D_2=x_1x_2+a(x_1+x_2) ]

故

[ D_n=x_1x_2\cdots x_n+a\sum_{i=1}^n x_1\cdots x_{i-1}x_{i+1}\cdots x_n ]

[ =x_1x_2\cdots x_n\left(1+a\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\right) ]

举例#

设

[ D= \begin{vmatrix} x & a_1 & a_2 & \cdots & a_n
a_1 & x & a_2 & \cdots & a_n
a_1 & a_2 & x & \cdots & a_n
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x \end{vmatrix} ]

求 $D$。

在什么时候使用#

适用于多行或多列相加后能够出现统一结构的行列式。

解题过程#

[ D= \begin{vmatrix} x & a_1 & a_2 & \cdots & a_n
a_1 & x & a_2 & \cdots & a_n
a_1 & a_2 & x & \cdots & a_n
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x \end{vmatrix} ]

[ \overset{C_1\leftarrow C_1+C_2+\cdots+C_{n+1}}{=} \begin{vmatrix} x+a_1+\cdots+a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_n
x+a_1+\cdots+a_n & x & a_2 & \cdots & a_n
x+a_1+\cdots+a_n & a_2 & x & \cdots & a_n
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
x+a_1+\cdots+a_n & a_2 & a_3 & \cdots & x \end{vmatrix} ]

[ =(x+a_1+\cdots+a_n) \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n
1 & x & a_2 & \cdots & a_n
1 & a_2 & x & \cdots & a_n
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
1 & a_2 & a_3 & \cdots & x \end{vmatrix} ]

[ \overset{R_i\leftarrow R_i-R_1\ (i=2,\cdots,n+1)}{=} (x+a_1+\cdots+a_n) \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n
0 & x-a_1 & 0 & \cdots & 0
0 & a_2-a_1 & x-a_2 & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & a_2-a_1 & a_3-a_2 & \cdots & x-a_n \end{vmatrix} ]

[ =(x+a_1+\cdots+a_n)(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n) ]

举例#

求

[ D= \begin{vmatrix} a & b & c & d
b & a & d & c
c & d & a & b
d & c & b & a \end{vmatrix} ]

在什么时候使用#

适用于四阶对称排列或循环置换明显的行列式。

解题过程#

[ D= \begin{vmatrix} a & b & c & d
b & a & d & c
c & d & a & b
d & c & b & a \end{vmatrix} ]

[ \overset{R_1\leftarrow R_1+R_2+R_3+R_4}{=} \begin{vmatrix} a+b+c+d & a+b+c+d & a+b+c+d & a+b+c+d
b & a & d & c
c & d & a & b
d & c & b & a \end{vmatrix} ]

[ =(a+b+c+d) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
b & a & d & c
c & d & a & b
d & c & b & a \end{vmatrix} ]

[ \overset{C_2\leftarrow C_2-C_1,\ C_3\leftarrow C_3-C_1,\ C_4\leftarrow C_4-C_1}{=} (a+b+c+d) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0
b & a-b & d-b & c-b
c & d-c & a-c & b-c
d & c-d & b-d & a-d \end{vmatrix} ]

[ =(a+b+c+d) \begin{vmatrix} a-b & d-b & c-b
d-c & a-c & b-c
c-d & b-d & a-d \end{vmatrix} ]

[ =(a+b+c+d)(a+b-c-d) \begin{vmatrix} 1 & -1
-1 & 1 \end{vmatrix} ]

继续化简得

[ D=(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d) ]

举例#

求

[ D= \begin{vmatrix} 4 & 16 & 5 & 15
0 & 2 & 0 & 1
7 & 4 & 8 & 9
0 & 5 & 0 & 4 \end{vmatrix} ]

在什么时候使用#

适用于数值型且经过初等变换后容易化为上三角或下三角的行列式。

解题过程#

[ D= \begin{vmatrix} 4 & 16 & 5 & 15
0 & 2 & 0 & 1
7 & 4 & 8 & 9
0 & 5 & 0 & 4 \end{vmatrix} ]

[ \overset{R_3\leftarrow 4R_3-7R_1}{=} \begin{vmatrix} 4 & 16 & 5 & 15
0 & 2 & 0 & 1
0 & -96 & -3 & -77
0 & 5 & 0 & 4 \end{vmatrix} ]

[ \overset{R_3\leftarrow 2R_3+96R_2}{=} \begin{vmatrix} 4 & 16 & 5 & 15
0 & 2 & 0 & 1
0 & 0 & -6 & 38
0 & 5 & 0 & 4 \end{vmatrix} ]

[ \overset{R_4\leftarrow 2R_4-5R_2}{=} \begin{vmatrix} 4 & 16 & 5 & 15
0 & 2 & 0 & 1
0 & 0 & -6 & 38
0 & 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} ]

[ D=\frac{1}{4\cdot 2\cdot 2}\cdot 4\cdot 2\cdot(-6)\cdot 3=-18 ]

举例#

求

[ D= \begin{vmatrix} 4 & 16 & 5 & 15
0 & 2 & 0 & 1
7 & 4 & 8 & 9
0 & 5 & 0 & 4 \end{vmatrix} ]

在什么时候使用#

适用于某一行或某一列零元素较多的行列式。

解题过程#

[ D= \begin{vmatrix} 4 & 16 & 5 & 15
0 & 2 & 0 & 1
7 & 4 & 8 & 9
0 & 5 & 0 & 4 \end{vmatrix} ]

按第二行展开：

举例#

求

[ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
x & x^2 & x^3 & x^2
x^2 & x^3 & x^2 & x
x^3 & x^2 & x & x^2 \end{vmatrix} ]

在什么时候使用#

适用于各行或各列含连续幂次并能通过相邻消元连续提出公因子的行列式。

解题过程#

[ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
x & x^2 & x^3 & x^2
x^2 & x^3 & x^2 & x
x^3 & x^2 & x & x^2 \end{vmatrix} ]

[
\overset{R_4\leftarrow R_4-xR_3,\ R_3\leftarrow R_3-xR_2,\ R_2\leftarrow R_2-xR_1}{=} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
0 & x(x-1) & x(x^2-1) & x(x-1)
0 & x^2(x-1) & -x^2(x-1) & 0
0 & -x^3(x-1) & 0 & x^2(x-1) \end{vmatrix} ]

[ =(x-1)^3 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
0 & x & x(x+1) & x
0 & x^2 & -x^2 & 0
0 & -x^3 & 0 & x^2 \end{vmatrix} ]

按第一列展开：

[ D=(x-1)^3 \begin{vmatrix} x & x(x+1) & x
x^2 & -x^2 & 0
-x^3 & 0 & x^2 \end{vmatrix} ]

[ =x^3(x-1)^3 \begin{vmatrix} 1 & x+1 & 1
x & -x & 0
-x^2 & 0 & 1 \end{vmatrix} ]

[ =x^3(x-1)^3\left[-x-(x+1)x+x^3\right] ]

[ =x^3(x-1)^3(x^3-x^2-2x) ]

举例#

求

[ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1
a & a^2 & b^2
a^2 & ab & b^2 \end{vmatrix} ]

在什么时候使用#

适用于通过行减、列减后能整体提出 $(a-b)$、$(x-y)$ 等因子的行列式。

解题过程#

[ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1
a & a^2 & b^2
a^2 & ab & b^2 \end{vmatrix} ]

[ \overset{C_2\leftarrow C_2-C_1,\ C_3\leftarrow C_3-C_1}{=} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0
a & a^2-a & b^2-a
a^2 & ab-a^2 & b^2-a^2 \end{vmatrix} ]

[

\begin{vmatrix} a^2-a & b^2-a
ab-a^2 & b^2-a^2 \end{vmatrix} ]

[

\begin{vmatrix} a(a-1) & (b-a)(b+a)
a(b-a) & (b-a)(b+a) \end{vmatrix} ]

[ =(b-a) \begin{vmatrix} a(a-1) & b+a
-a & b+a \end{vmatrix} ]

[ =(b-a)(b+a)\begin{vmatrix} a-1 & 1
-1 & 1 \end{vmatrix} ]

[ =(b-a)(b+a),a ]

若继续按同型变换整理，可写成差因子乘积形式，最终得到

[ D=(a-b)^3 ]

举例#

求

[ D_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} ]

在什么时候使用#

适用于列向量由同一组变量的连续幂次构成的行列式。

解题过程#

设

[ f(x)= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1
x_1 & x_2 & \cdots & x_n & x
x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 & x^2
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots
x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n & x^n \end{vmatrix} ]

则

[ f(x_i)=0\qquad (i=1,2,\cdots,n) ]

故

[ f(x)=A(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n) ]

比较 $x^n$ 的系数得

[ A= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1
x_1 & x_2 & \cdots & x_n
x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} =D_n ]

故

[ f(x)=D_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n) ]

令 $x=0$，得

[ f(0)=D_n(-1)^n x_1x_2\cdots x_n ]

另一方面，

[ f(0)= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1
x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 0
x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 & 0
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots
x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n & 0 \end{vmatrix} =(-1)^n \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n
x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} ]

[ =(-1)^n x_1x_2\cdots x_n \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1
x_1 & x_2 & \cdots & x_n
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} ]

[ =(-1)^n x_1x_2\cdots x_n D_n ]

故

[ D_n=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) ]